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EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals는 고전 물리학보다는 양자 물리학 법칙을 기반으로 하고 고전 물리학에 비해 질적 이점을 제공하는 양자 정보 및 양자 계산의 이론 및 실제 측면에 대한 유럽 IT 인증 프로그램입니다.
EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals의 커리큘럼은 양자 역학 소개(이중 슬릿 실험 및 물질파 간섭 고려 포함), 양자 정보 소개(큐비트 및 그 기하학적 표현), 편광, 불확정성 원리, 양자 얽힘, EPR 역설, 벨 부등식 위반, 국부적 실재론의 포기, 양자 정보 처리(단일 변환, 단일 큐비트 및 두 큐비트 게이트 포함), 복제 없음 정리, 양자 순간 이동, 양자 측정, 양자 계산(다중 도입 포함) -큐비트 시스템, 범용 게이트 패밀리, 계산의 가역성), 양자 알고리즘(양자 푸리에 변환, 사이먼 알고리즘, 확장 Churh-Turing 논문, Shor'q 양자 인수 분해 알고리즘, Grover 양자 탐색 알고리즘 포함), 양자 관측 가능, 슈뢰딩거 방정식, 큐비트 구현, 양자 복잡도 이론, 단열 양자 계산 ion, BQP, 스핀 소개, 다음 구조 내에서 이 EITC 인증에 대한 참조로 포괄적인 비디오 교육 콘텐츠를 포함합니다.
양자 정보는 양자 시스템의 상태에 대한 정보입니다. 양자 정보 이론 연구의 기본 개체이며 양자 정보 처리 기술을 사용하여 조작할 수 있습니다. 양자 정보는 폰 노이만 엔트로피의 기술적 정의와 일반적인 계산 용어를 모두 나타냅니다.
양자 정보 및 계산은 다른 분야 중에서 양자 역학, 컴퓨터 과학, 정보 이론, 철학 및 암호학을 포함하는 학제 간 분야입니다. 그 연구는 인지 과학, 심리학 및 신경 과학과 같은 분야와도 관련이 있습니다. 주요 초점은 미시적 규모의 물질에서 정보를 추출하는 것입니다. 과학에서 관찰은 현실에 대한 근본적이고 독특한 기준이며 정보를 획득하는 가장 중요한 방법 중 하나입니다. 따라서 관측치를 정량화하기 위해서는 측정이 필요하며, 이는 과학적 방법에 매우 중요합니다. 양자 역학에서는 불확정성 원리로 인해 한 기준의 고유 상태가 다른 기준의 고유 상태가 아니기 때문에 통근하지 않는 관측 가능한 항목을 동시에 정확하게 측정할 수 없습니다. 두 변수가 동시에 잘 정의되지 않기 때문에 양자 상태는 두 변수에 대한 최종 정보를 포함할 수 없습니다. 양자 역학에서 측정의 이러한 기본 속성으로 인해 이 이론은 일반적으로 완전히 결정론적인 고전 역학과 대조적으로 비결정론적이라고 특징지을 수 있습니다. 양자 상태의 비결정론은 양자 시스템의 상태로 정의된 정보를 특징짓습니다. 수학적 용어로 이러한 상태는 고전 시스템 상태의 중첩(선형 조합)에 있습니다.
정보는 항상 물리적 시스템의 상태로 인코딩되기 때문에 그 자체가 물리적입니다. 양자 역학은 미시적 수준에서 물질의 특성을 조사하는 것을 다루는 반면, 양자 정보 과학은 이러한 특성에서 정보를 추출하는 데 초점을 맞추고, 양자 계산은 양자 정보 처리 기술을 사용하여 양자 정보를 조작 및 처리하고 논리 연산을 수행합니다.
고전 정보와 마찬가지로 양자 정보는 컴퓨터를 사용하여 처리되고, 한 위치에서 다른 위치로 전송되고, 알고리즘으로 조작되고, 컴퓨터 과학 및 수학으로 분석될 수 있습니다. 고전 정보의 기본 단위가 비트인 것처럼 양자 정보는 0과 1의 중첩(동시에 어느 정도 참과 거짓)이 존재할 수 있는 큐비트를 다룹니다. 양자 정보는 측정 시 순수하게 비고전적인 비-로컬 상관관계를 나타내는 소위 얽힌 상태로 존재할 수 있어 양자 순간이동과 같은 응용을 가능하게 합니다. 얽힘 수준은 양자 정보의 척도이기도 한 폰 노이만 엔트로피를 사용하여 측정할 수 있습니다. 최근 양자 컴퓨팅 분야는 현대의 컴퓨팅, 통신 및 암호화를 파괴할 가능성 때문에 매우 활발한 연구 분야가 되었습니다.
양자 정보의 역사는 고전 물리학이 양자 물리학으로 혁명을 일으킨 20세기로 접어들면서 시작되었습니다. 고전 물리학의 이론은 자외선 재앙이나 전자가 핵 속으로 소용돌이치는 것과 같은 부조리를 예측하고 있었습니다. 처음에 이러한 문제는 고전 물리학에 임시 가설을 추가함으로써 무시되었습니다. 머지 않아 이러한 부조리를 이해하기 위해서는 새로운 이론이 만들어져야 한다는 것이 분명해졌으며 양자역학 이론이 탄생했습니다.
양자 역학은 파동 역학을 사용하여 슈뢰딩거와 행렬 역학을 사용하여 하이젠베르크에 의해 공식화되었습니다. 이러한 방법의 동등성은 나중에 입증되었습니다. 그들의 공식은 미시적 시스템의 역학을 설명했지만 측정 프로세스를 설명하는 데 몇 가지 불만족스러운 측면이 있었습니다. Von Neumann은 측정과 역학을 설명하는 방식으로 연산자 대수학을 사용하여 양자 이론을 공식화했습니다. 이러한 연구는 측정을 통해 정보를 추출하는 정량적 접근보다는 측정의 철학적 측면을 강조했습니다.
1960년대에 Stratonovich, Helstrom 및 Gordon은 양자 역학을 사용한 광통신의 공식화를 제안했습니다. 이것은 양자 정보 이론의 최초의 역사적 등장이었습니다. 그들은 주로 오류 확률과 통신을 위한 채널 용량을 연구했습니다. 나중에 Holevo는 양자 채널을 통한 고전 메시지 전송에서 통신 속도의 상한선을 얻었습니다.
1970년대에는 원자 트랩, 주사 터널링 현미경과 같은 단일 원자 양자 상태를 조작하는 기술이 개발되기 시작하여 단일 원자를 분리하고 배열로 배열하는 것이 가능해졌습니다. 이러한 개발 이전에는 단일 양자 시스템에 대한 정밀한 제어가 불가능했으며 실험에서는 많은 수의 양자 시스템에 대해 더 거칠고 동시 제어를 사용했습니다. 실행 가능한 단일 상태 조작 기술의 개발로 양자 정보 및 계산 분야에 대한 관심이 높아졌습니다.
1980년대에는 양자 효과를 사용하여 아인슈타인의 상대성 이론을 반증하는 것이 가능한지 여부에 대한 관심이 생겼습니다. 미지의 양자 상태를 복제할 수 있다면 얽힌 양자 상태를 사용하여 빛의 속도보다 빠르게 정보를 전송할 수 있어 아인슈타인의 이론이 반증될 것입니다. 그러나 복제 금지 정리는 그러한 복제가 불가능하다는 것을 보여주었습니다. 정리는 양자 정보 이론의 초기 결과 중 하나였습니다.
암호화에서 개발
고립된 양자 시스템을 연구하고 상대성 이론을 우회하는 방법을 찾으려는 모든 흥분과 관심에도 불구하고 양자 정보 이론에 대한 연구는 1980년대에 정체되었습니다. 그러나 같은 시기에 양자 정보와 계산에 손을 대는 또 다른 방법인 암호화가 시작되었습니다. 일반적인 의미에서 암호화는 서로를 신뢰하지 않을 수 있는 둘 이상의 당사자가 관련된 통신 또는 계산을 수행하는 문제입니다.
Bennett과 Brassard는 BB84 양자 암호 프로토콜을 사용하여 장거리에서 비밀리에 통신하는 방법인 들키지 않고는 도청이 불가능한 통신 채널을 개발했습니다. 핵심 아이디어는 관찰이 관찰을 방해하는 양자 역학의 기본 원리를 사용하는 것이었고 보안 통신 회선에 도청자를 도입하면 통신을 시도하는 두 당사자가 즉시 도청자의 존재를 알 수 있습니다.
컴퓨터 과학 및 수학에서 발전
프로그래밍 가능한 컴퓨터 또는 튜링 기계에 대한 앨런 튜링의 혁신적인 아이디어의 출현으로 그는 모든 실제 계산이 튜링 기계를 포함하는 동등한 계산으로 변환될 수 있음을 보여주었습니다. 이것은 교회-튜링 테제(Church-Turing thesis)로 알려져 있다.
얼마 지나지 않아 최초의 컴퓨터가 만들어지고 컴퓨터 하드웨어가 빠른 속도로 성장하여 생산 경험을 통한 성장이 무어의 법칙이라는 경험적 관계로 성문화되었습니다. 이 '법칙'은 집적 회로의 트랜지스터 수가 XNUMX년마다 두 배로 증가한다는 예측 추세입니다. 표면적당 더 많은 전력을 저장하기 위해 트랜지스터가 점점 더 작아지기 시작하면서 전자 장치에 양자 효과가 나타나기 시작하여 의도하지 않은 간섭이 발생했습니다. 이것은 양자 역학을 사용하여 알고리즘을 설계하는 양자 컴퓨팅의 출현으로 이어졌습니다.
이 시점에서 양자 컴퓨터는 특정 문제에 대해 기존 컴퓨터보다 훨씬 빠를 것이라는 약속을 보여주었습니다. 그러한 예제 문제 중 하나는 Deutsch–Jozsa 알고리즘으로 알려진 David Deutsch와 Richard Jozsa에 의해 개발되었습니다. 그러나 이 문제는 실제 적용이 거의 또는 전혀 이루어지지 않았습니다. 1994년 Peter Shor는 정수의 소인수를 찾는 것 중 하나인 매우 중요하고 실용적인 문제를 제시했습니다. 이산 로그 문제라고 불리는 문제는 양자 컴퓨터에서는 효율적으로 풀릴 수 있지만 고전 컴퓨터에서는 풀릴 수 없으므로 양자 컴퓨터가 튜링 기계보다 더 강력하다는 것을 보여줍니다.
정보 이론에서 발전
컴퓨터 과학이 혁명을 일으키던 시기에 Claude Shannon을 통한 정보 이론과 커뮤니케이션도 혁명을 일으켰습니다. Shannon은 정보 이론의 두 가지 기본 정리인 잡음이 없는 채널 코딩 정리와 잡음이 있는 채널 코딩 정리를 개발했습니다. 그는 또한 오류 수정 코드를 사용하여 전송되는 정보를 보호할 수 있음을 보여주었습니다.
양자 정보 이론도 유사한 궤적을 따랐으며, 1995년 Ben Schumacher는 큐비트를 사용하여 Shannon의 무잡음 코딩 정리와 유사합니다. 양자 컴퓨터가 잡음에 관계없이 효율적인 계산을 수행하고 잡음이 많은 양자 채널을 통해 안정적인 통신을 할 수 있도록 하는 오류 수정 이론도 개발되었습니다.
큐빗과 정보이론
양자 정보는 여러 가지 놀랍고 생소한 방식으로 비트로 요약되는 고전적 정보와 크게 다릅니다. 고전 정보의 기본 단위가 비트라면 양자 정보의 가장 기본적인 단위는 큐비트입니다. 고전 정보는 Shannon 엔트로피를 사용하여 측정되며 양자 역학 유사체는 Von Neumann 엔트로피입니다. 양자 역학 시스템의 통계적 앙상블은 밀도 매트릭스가 특징입니다. 고전 정보 이론의 많은 엔트로피 측정은 홀레보 엔트로피 및 조건부 양자 엔트로피와 같은 양자 사례로 일반화될 수도 있습니다.
고전적인 디지털 상태(이산적임)와 달리 큐비트는 연속 값이며 Bloch 구의 방향으로 설명할 수 있습니다. 이렇게 연속적으로 값을 가짐에도 불구하고 큐비트는 양자 정보의 가능한 가장 작은 단위이며, 큐비트 상태가 연속적으로 값을 가짐에도 불구하고 그 값을 정확하게 측정하는 것은 불가능하다. 다섯 가지 유명한 정리는 양자 정보 조작의 한계를 설명합니다.
- 큐비트는 (완전히) 고전적인 비트로 변환될 수 없다고 명시하는 비 순간이동 정리; 즉, 완전히 "읽을 수" 없습니다.
- 임의의 큐비트가 복사되는 것을 방지하는 복제 없음 정리,
- 임의의 큐비트가 삭제되는 것을 방지하는 삭제 없음 정리,
- 임의의 큐비트가 여러 수신자에게 전달되는 것을 방지하는 방송 없음 정리(예: 양자 순간 이동을 통해)
- 양자 정보의 보존을 증명하는 숨김 없는 정리, 이 정리는 우주 내의 양자 정보가 보존된다는 것을 증명하고 양자 정보 처리에서 독특한 가능성을 열어줍니다.
양자 정보 처리
큐비트의 상태에는 모든 정보가 포함됩니다. 이 상태는 Bloch 구에서 벡터로 자주 표현됩니다. 이 상태는 선형 변환 또는 양자 게이트를 적용하여 변경할 수 있습니다. 이러한 단일 변환은 Bloch Sphere에서 회전으로 설명됩니다. 고전적인 게이트는 부울 논리의 친숙한 연산에 해당하지만 양자 게이트는 물리적 단일 연산자입니다.
양자 시스템의 변동성과 상태 복사의 불가능성으로 인해 양자 정보의 저장은 고전적 정보를 저장하는 것보다 훨씬 어렵습니다. 그럼에도 불구하고 양자 오류 수정을 사용하면 원칙적으로 양자 정보를 여전히 안정적으로 저장할 수 있습니다. 양자 오류 수정 코드의 존재는 또한 내결함성 양자 계산의 가능성으로 이어졌습니다.
기존 비트는 양자 게이트를 사용하여 큐비트 구성으로 인코딩되고 이후에 검색될 수 있습니다. 그 자체로 단일 큐비트는 준비에 대한 접근 가능한 고전적 정보를 XNUMX비트 이상 전달할 수 없습니다. 이것이 홀레보의 정리입니다. 그러나 초고밀도 코딩에서 발신자는 두 개의 얽힌 큐비트 중 하나에 작용하여 연결 상태에 대한 액세스 가능한 정보 두 비트를 수신자에게 전달할 수 있습니다.
양자 정보는 고전 통신 채널의 개념과 유사하게 양자 채널에서 이동할 수 있습니다. 양자 메시지는 큐비트로 측정되는 유한한 크기를 가지고 있습니다. 양자 채널은 초당 큐비트로 측정되는 유한 채널 용량을 가집니다.
양자 정보 및 양자 정보의 변화는 폰 노이만 엔트로피라고 하는 섀넌 엔트로피의 유사체를 사용하여 정량적으로 측정할 수 있습니다.
어떤 경우에는 양자 알고리즘을 사용하여 알려진 기존 알고리즘보다 더 빠르게 계산을 수행할 수 있습니다. 이것의 가장 유명한 예는 하위 지수 시간이 걸리는 최고의 고전 알고리즘과 비교하여 다항식 시간에서 숫자를 인수분해할 수 있는 Shor의 알고리즘입니다. 인수분해는 RSA 암호화의 안전성에서 중요한 부분이므로 Shor의 알고리즘은 양자 컴퓨터가 작동 중일 때도 안전하게 유지되는 암호화 체계를 찾으려는 포스트 양자 암호화의 새로운 분야를 촉발했습니다. 양자 우위를 입증하는 알고리즘의 다른 예로는 Grover의 검색 알고리즘이 있습니다. 여기서 양자 알고리즘은 가능한 최고의 고전 알고리즘보다 XNUMX차 속도 향상을 제공합니다. 양자 컴퓨터로 효율적으로 풀 수 있는 문제의 복잡성 부류를 BQP라고 합니다.
양자 키 배포(QKD)는 실제로는 그렇지 않더라도 원칙적으로 항상 깨질 수 있는 기존 암호화와 달리 기존 정보의 무조건 안전한 전송을 허용합니다. QKD의 안전성에 관한 특정 미묘한 점은 여전히 뜨겁게 논의되고 있습니다.
위의 모든 주제와 차이점에 대한 연구는 양자 정보 이론으로 구성됩니다.
양자역학과의 관계
양자 역학은 미시적인 물리적 시스템이 자연에서 어떻게 동적으로 변하는지에 대한 연구입니다. 양자 정보 이론 분야에서 연구된 양자 시스템은 실제 세계에서 추상화됩니다. 큐비트는 예를 들어 물리적으로 선형 광학 양자 컴퓨터의 광자, 갇힌 이온 양자 컴퓨터의 이온 또는 초전도 양자 컴퓨터에서와 같이 원자의 대규모 집합일 수 있습니다. 물리적 구현에 관계없이, 양자 정보 이론이 암시하는 큐비트의 한계와 특징은 이러한 모든 시스템이 복소수에 대한 밀도 행렬의 동일한 장치에 의해 수학적으로 설명되기 때문에 유지됩니다. 양자 역학과의 또 다른 중요한 차이점은 양자 역학은 고조파 발진기와 같은 무한 차원 시스템을 연구하는 반면, 양자 정보 이론은 연속 변수 시스템과 유한 차원 시스템 모두에 관심이 있다는 것입니다.
양자 계산
양자 컴퓨팅은 중첩, 간섭 및 얽힘과 같은 양자 상태의 집합적 속성을 활용하여 계산을 수행하는 계산 유형입니다. 양자 계산을 수행하는 장치는 양자 컴퓨터로 알려져 있습니다.: I-5 현재의 양자 컴퓨터는 실제 적용을 위해 일반(고전) 컴퓨터를 능가하기에는 너무 작지만 정수 인수분해와 같은 특정 계산 문제를 해결할 수 있다고 믿어집니다. (RSA 암호화의 기초가 됨) 기존 컴퓨터보다 훨씬 빠릅니다. 양자 컴퓨팅 연구는 양자 정보 과학의 하위 분야입니다.
양자 컴퓨팅은 물리학자인 Paul Benioff가 튜링 기계의 양자 역학 모델을 제안한 1980년에 시작되었습니다. Richard Feynman과 Yuri Manin은 나중에 양자 컴퓨터가 고전적인 컴퓨터가 할 수 없는 일을 시뮬레이션할 수 있는 잠재력을 가지고 있다고 제안했습니다. 1994년 Peter Shor는 RSA로 암호화된 통신을 해독할 가능성이 있는 정수 인수분해를 위한 양자 알고리즘을 개발했습니다. 1998년 Isaac Chuang, Neil Gershenfeld 및 Mark Kubinec은 계산을 수행할 수 있는 최초의 1990큐비트 양자 컴퓨터를 만들었습니다. 23년대 후반 이후로 실험이 계속 진행되고 있음에도 불구하고 대부분의 연구자들은 "내결함성 양자 컴퓨팅은 [아직] 다소 먼 꿈"이라고 믿습니다. 최근 몇 년 동안 공공 및 민간 부문에서 양자 컴퓨팅 연구에 대한 투자가 증가했습니다. 2019년 XNUMX월 XNUMX일 Google AI는 미국 NASA(National Aeronautics and Space Administration)와 협력하여 기존 컴퓨터에서 실행 불가능한 양자 계산을 수행했다고 주장했지만 이 주장이 유효한지 여전히 유효한지는 적극적인 연구.
양자 회로 모델, 양자 튜링 기계, 단열 양자 컴퓨터, 단방향 양자 컴퓨터 및 다양한 양자 셀룰러 오토마타를 비롯한 여러 유형의 양자 컴퓨터(양자 컴퓨팅 시스템이라고도 함)가 있습니다. 가장 널리 사용되는 모델은 양자 비트 또는 "큐비트"를 기반으로 하는 양자 회로로, 이는 고전적 계산의 비트와 다소 유사합니다. 큐비트는 1 또는 0 양자 상태 또는 1과 0 상태의 중첩에 있을 수 있습니다. 그러나 측정될 때 항상 0 또는 1입니다. 두 결과 중 하나의 확률은 측정 직전에 큐비트의 양자 상태에 따라 다릅니다.
물리적 양자 컴퓨터를 구축하기 위한 노력은 고품질 큐비트 생성을 목표로 하는 트랜스몬, 이온 트랩 및 토폴로지 양자 컴퓨터와 같은 기술에 중점을 둡니다.: 2–13 이러한 큐비트는 전체 양자 컴퓨터의 컴퓨팅 모델에 따라 다르게 설계될 수 있습니다. 양자 논리 게이트, 양자 어닐링 또는 단열 양자 계산 여부. 현재 유용한 양자 컴퓨터를 구성하는 데에는 여러 가지 중요한 장애물이 있습니다. 큐비트의 양자 상태를 유지하기가 특히 어렵습니다. 큐비트는 양자 결맞음과 상태 충실도에 문제가 있기 때문입니다. 따라서 양자 컴퓨터는 오류 수정이 필요합니다.
고전 컴퓨터로 풀 수 있는 모든 계산 문제는 양자 컴퓨터로도 풀 수 있습니다. 반대로, 양자 컴퓨터로 풀 수 있는 문제는 최소한 원칙적으로 충분한 시간이 주어진다면 고전 컴퓨터로도 풀 수 있습니다. 즉, 양자 컴퓨터는 교회-튜링 테제를 따릅니다. 즉, 양자 컴퓨터는 계산 가능성 측면에서 기존 컴퓨터에 비해 추가적인 이점을 제공하지 않지만 특정 문제에 대한 양자 알고리즘은 알려진 기존 알고리즘보다 시간 복잡성이 훨씬 낮습니다. 특히, 양자 컴퓨터는 "양자 우위"로 알려진 특정 문제를 가능한 시간 내에 해결할 수 없는 특정 문제를 신속하게 해결할 수 있다고 믿어집니다. 양자 컴퓨터와 관련된 문제의 계산 복잡성에 대한 연구는 양자 복잡성 이론으로 알려져 있습니다.
일반적인 양자 계산 모델은 양자 논리 게이트 네트워크의 관점에서 계산을 설명합니다. 이 모델은 고전 회로의 추상 선형 대수 일반화로 생각할 수 있습니다. 이 회로 모델은 양자 역학을 따르기 때문에 이러한 회로를 효율적으로 실행할 수 있는 양자 컴퓨터는 물리적으로 실현 가능하다고 믿어집니다.
n비트의 정보로 구성된 메모리는 2^n개의 가능한 상태를 갖습니다. 따라서 모든 메모리 상태를 나타내는 벡터에는 2^n 항목(각 상태에 대해 하나씩)이 있습니다. 이 벡터는 확률 벡터로 간주되며 메모리가 특정 상태에서 발견된다는 사실을 나타냅니다.
고전적 관점에서 하나의 항목은 1의 값(즉, 이 상태에 있을 확률이 100%)이고 다른 모든 항목은 XNUMX입니다.
양자 역학에서 확률 벡터는 밀도 연산자로 일반화될 수 있습니다. 양자 상태 벡터 형식론은 일반적으로 개념적으로 더 간단하고 전체 양자 시스템이 알려진 순수 상태에 대한 밀도 행렬 형식론 대신 사용할 수 있기 때문에 먼저 도입됩니다.
양자 계산은 양자 논리 게이트 및 측정의 네트워크로 설명될 수 있습니다. 그러나 모든 측정은 양자 계산이 끝날 때까지 연기될 수 있지만 이 연기에는 계산 비용이 발생할 수 있으므로 대부분의 양자 회로는 측정 없이 양자 논리 게이트로만 구성된 네트워크를 묘사합니다.
모든 양자 계산(즉, 위의 형식주의에서 n 큐비트에 대한 단일 행렬)은 상당히 작은 게이트 제품군의 양자 논리 게이트 네트워크로 나타낼 수 있습니다. 이러한 회로를 실행할 수 있는 컴퓨터가 범용 양자 컴퓨터이기 때문에 이러한 구성을 가능하게 하는 게이트 제품군의 선택을 범용 게이트 세트라고 합니다. 하나의 공통된 세트에는 모든 단일 큐비트 게이트와 위의 CNOT 게이트가 포함됩니다. 이는 CNOT 게이트와 함께 일련의 단일 큐비트 게이트를 실행하여 모든 양자 계산을 수행할 수 있음을 의미합니다. 이 게이트 세트는 무한하지만 Solovay-Kitaev 정리에 호소하여 유한 게이트 세트로 대체할 수 있습니다.
양자 알고리즘
양자 알고리즘을 찾는 과정은 일반적으로 이 양자 회로 모델에 초점을 맞추지만 양자 단열 알고리즘과 같은 예외가 있습니다. 양자 알고리즘은 해당하는 기존 알고리즘에 비해 달성한 속도 향상 유형에 따라 대략적으로 분류할 수 있습니다.
가장 잘 알려진 고전 알고리즘보다 다항식 속도 향상 이상을 제공하는 양자 알고리즘에는 인수분해를 위한 쇼어(Shor) 알고리즘과 이산 로그 계산, 펠 방정식 풀기, 더 일반적으로 아벨 유한 그룹에 대한 숨겨진 부분군 문제 해결을 위한 관련 양자 알고리즘이 있습니다. 이러한 알고리즘은 양자 푸리에 변환의 기본 요소에 따라 다릅니다. 동등하게 빠른 고전적 알고리즘이 발견될 수 없다는 것을 보여주는 수학적 증거는 발견되지 않았지만, 이것은 가능성이 희박한 것으로 간주됩니다.[자체 출판된 출처?] Simon의 문제 및 Bernstein-Vazirani 문제와 같은 특정 오라클 문제는 입증 가능한 속도 향상을 제공하지만, 양자 쿼리 모델은 하한을 증명하기가 훨씬 쉽고 실제 문제에 대한 속도 향상으로 해석되지 않는 제한된 모델입니다.
화학 및 고체 물리학의 양자 물리적 프로세스 시뮬레이션, 특정 존스 다항식의 근사, 선형 방정식 시스템에 대한 양자 알고리즘을 포함한 기타 문제에는 초다항식 속도 향상을 제공하는 것처럼 보이는 양자 알고리즘이 있으며 BQP 완전합니다. 이러한 문제는 BQP 완성형이기 때문에 이에 대한 동등하게 빠른 고전적 알고리즘은 어떤 양자 알고리즘도 초다항식 속도 향상을 제공하지 않는다는 것을 의미하며, 이는 가능성이 희박합니다.
Grover의 알고리즘 및 진폭 증폭과 같은 일부 양자 알고리즘은 해당하는 기존 알고리즘보다 다항식 속도 향상을 제공합니다. 이러한 알고리즘은 비교적 적당한 XNUMX차 속도 향상을 제공하지만 광범위하게 적용할 수 있으므로 광범위한 문제에 대한 속도 향상을 제공합니다. 쿼리 문제에 대해 입증 가능한 양자 속도 향상의 많은 예는 Grover의 알고리즘을 사용하는 XNUMX:XNUMX 함수에서 충돌을 찾기 위한 Brassard, Høyer 및 Tapp의 알고리즘과 NAND 평가를 위한 Farhi, Goldstone 및 Gutmann의 알고리즘을 포함하여 Grover의 알고리즘과 관련됩니다. 트리는 검색 문제의 변형입니다.
암호화 애플리케이션
양자 계산의 주목할만한 응용 프로그램은 현재 사용 중인 암호화 시스템에 대한 공격입니다. 공개 키 암호화 시스템의 보안을 뒷받침하는 정수 인수분해는 소수의 소수(예: 두 개의 300자리 소수의 곱)의 곱인 경우 큰 정수에 대해 일반 컴퓨터로 계산할 수 없는 것으로 믿어집니다. 이에 비해 양자 컴퓨터는 요인을 찾는 쇼어 알고리즘을 사용하여 이 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다. 이 능력은 문제를 해결하기 위한 다항식 시간(정수의 자릿수) 알고리즘이 있다는 의미에서 오늘날 사용되는 많은 암호화 시스템을 양자 컴퓨터가 깰 수 있도록 합니다. 특히, 대중적인 공개 키 암호의 대부분은 정수 인수분해의 어려움이나 이산 로그 문제를 기반으로 하며, 둘 다 Shor의 알고리즘으로 풀 수 있습니다. 특히 RSA, Diffie-Hellman 및 타원 곡선 Diffie-Hellman 알고리즘이 깨질 수 있습니다. 이들은 보안 웹 페이지, 암호화된 이메일 및 기타 여러 유형의 데이터를 보호하는 데 사용됩니다. 이를 깨는 것은 전자 개인 정보 보호 및 보안에 중대한 영향을 미칠 것입니다.
양자 알고리즘에 대해 안전할 수 있는 암호화 시스템을 식별하는 것은 포스트 양자 암호화 분야에서 활발하게 연구되는 주제입니다. 일부 공개 키 알고리즘은 코딩 이론의 문제를 기반으로 하는 McEliece 암호 시스템과 같이 Shor의 알고리즘이 적용되는 정수 인수분해 및 이산 로그 문제 이외의 문제를 기반으로 합니다. 격자 기반 암호 시스템은 또한 양자 컴퓨터에 의해 깨지는 것으로 알려져 있지 않으며, 많은 격자 기반 암호 시스템을 깨뜨릴 2면체 은닉 부분군 문제를 해결하기 위한 다항식 시간 알고리즘을 찾는 것은 잘 연구된 공개 문제입니다. 무차별 대입에 의해 대칭(비밀 키) 알고리즘을 깨기 위해 Grover의 알고리즘을 적용하는 것은 기본 암호화 알고리즘의 대략 2n/2 호출과 동일한 시간을 필요로 한다는 것이 입증되었습니다. 이는 대칭 키 길이가 효과적으로 반감됨: AES-256은 AES-128이 고전적인 무차별 대입 검색에 대해 갖는 것과 같은 Grover 알고리즘을 사용하는 공격에 대해 동일한 보안을 갖습니다(키 크기 참조).
양자 암호화는 공개 키 암호화의 일부 기능을 잠재적으로 수행할 수 있습니다. 따라서 양자 기반 암호화 시스템은 양자 해킹에 대해 기존 시스템보다 더 안전할 수 있습니다.
검색 문제
다항식 양자 속도 향상을 인정하는 문제의 가장 잘 알려진 예는 데이터베이스의 n개 항목 목록에서 표시된 항목을 찾는 구조화되지 않은 검색입니다. 이것은 데이터베이스에 대한 O(sqrt(n)) 쿼리를 사용하는 Grover의 알고리즘으로 해결할 수 있으며, 이는 기존 알고리즘에 필요한 Omega(n) 쿼리보다 XNUMX차적으로 적습니다. 이 경우 장점은 증명할 수 있을 뿐만 아니라 최적입니다. Grover의 알고리즘은 여러 Oracle 조회에 대해 원하는 요소를 찾을 수 있는 가능한 최대 확률을 제공하는 것으로 나타났습니다.
Grover 알고리즘으로 해결할 수 있는 문제는 다음과 같은 속성이 있습니다.
- 가능한 답변 모음에 검색 가능한 구조가 없습니다.
- 확인할 수 있는 답변의 수는 알고리즘에 대한 입력 수와 동일하며,
- 각 입력을 평가하여 정답인지 판단하는 부울 함수가 있습니다.
이러한 모든 속성에 대한 문제의 경우 양자 컴퓨터에서 Grover 알고리즘의 실행 시간은 기존 알고리즘의 선형 확장과 달리 입력(또는 데이터베이스의 요소) 수의 제곱근으로 확장됩니다. Grover의 알고리즘이 적용될 수 있는 문제의 일반적인 부류는 알고리즘이 반복되는 데이터베이스가 가능한 모든 답변의 데이터베이스인 부울 만족성 문제입니다. 이것의 예 및 (가능한) 응용 프로그램은 암호를 추측하려고 시도하는 암호 크래커입니다. Triple DES 및 AES와 같은 대칭 암호는 이러한 종류의 공격에 특히 취약합니다. [인용 필요] 이러한 양자 컴퓨팅 적용은 정부 기관의 주요 관심사입니다.
양자 시스템 시뮬레이션
화학과 나노기술은 양자 시스템을 이해하는 데 의존하고 이러한 시스템은 고전적으로 효율적인 방식으로 시뮬레이션하는 것이 불가능하기 때문에 많은 사람들은 양자 시뮬레이션이 양자 컴퓨팅의 가장 중요한 응용 프로그램 중 하나가 될 것이라고 믿습니다. 양자 시뮬레이션은 또한 충돌기 내부의 반응과 같은 비정상적인 조건에서 원자와 입자의 거동을 시뮬레이션하는 데 사용할 수 있습니다. 양자 시뮬레이션은 이중 슬릿 실험에서 중첩된 입자와 양성자의 미래 경로를 예측하는 데 사용될 수 있습니다.[인용 필요] 연간 전 세계 에너지 생산량의 약 2%는 농업 분야에서 Haber 공정을 위한 암모니아를 생산하기 위한 질소 고정에 사용됩니다. 비료 산업은 자연 발생 유기체도 암모니아를 생산합니다. 양자 시뮬레이션은 생산량을 늘리는 이 프로세스를 이해하는 데 사용할 수 있습니다.
양자 어닐링 및 단열 최적화
양자 어닐링 또는 단열 양자 계산은 단열 정리에 의존하여 계산을 수행합니다. 시스템은 간단한 Hamiltonian에 대한 기저 상태에 배치되며, 기저 상태가 문제의 문제에 대한 솔루션을 나타내는 더 복잡한 Hamiltonian으로 천천히 진화합니다. 단열 정리는 진화가 충분히 느리다면 시스템이 그 과정을 통해 항상 바닥 상태를 유지할 것이라고 말합니다.
기계 학습
양자 컴퓨터는 기존 컴퓨터가 효율적으로 생성할 수 없는 출력을 생성할 수 있고 양자 계산은 기본적으로 선형 대수이므로 일부는 기계 학습 작업의 속도를 높일 수 있는 양자 알고리즘 개발에 대한 희망을 표현합니다. 예를 들어, 선형 방정식 시스템에 대한 양자 알고리즘 또는 "HHL 알고리즘"은 발견자 Harrow, Hassidim 및 Lloyd의 이름을 따서 명명되었으며 기존 알고리즘보다 속도가 빨라진 것으로 믿어집니다. 일부 연구 그룹은 최근 Boltzmann 기계 및 심층 신경망 훈련을 위한 양자 어닐링 하드웨어의 사용을 탐구했습니다.
전산 생물학
컴퓨터 생물학 분야에서 양자 컴퓨팅은 많은 생물학적 문제를 해결하는 데 큰 역할을 했습니다. 잘 알려진 예 중 하나는 컴퓨터 유전체학과 컴퓨터가 인간 게놈 시퀀싱 시간을 획기적으로 단축한 방법입니다. 컴퓨터 생물학이 일반 데이터 모델링 및 저장을 사용하는 방식을 감안할 때 컴퓨터 생물학에 대한 응용 프로그램도 발생할 것으로 예상됩니다.
컴퓨터 지원 약물 설계 및 생성 화학
심층 생성 화학 모델은 약물 발견을 촉진하는 강력한 도구로 등장합니다. 그러나 모든 가능한 약물 유사 분자의 구조적 공간의 엄청난 크기와 복잡성은 양자 컴퓨터로 미래에 극복할 수 있는 상당한 장애물을 제시합니다. 양자 컴퓨터는 본질적으로 복잡한 양자 다물체 문제를 해결하는 데 유용하므로 양자 화학과 관련된 응용 분야에서 유용할 수 있습니다. 따라서 양자 GAN을 포함하는 양자 강화 생성 모델이 궁극적으로 궁극적인 생성 화학 알고리즘으로 개발될 수 있음을 기대할 수 있습니다. 양자 컴퓨터를 Quantum Variational Autoencoders와 같은 심층적인 고전 네트워크와 결합한 하이브리드 아키텍처는 이미 상업적으로 이용 가능한 어닐러에 대해 훈련되어 새로운 약물과 같은 분자 구조를 생성하는 데 사용할 수 있습니다.
물리적 양자 컴퓨터 개발
도전
대규모 양자 컴퓨터를 구축하는 데는 여러 가지 기술적 과제가 있습니다. 물리학자 David DiVincenzo는 실용적인 양자 컴퓨터에 대한 다음 요구 사항을 나열했습니다.
- 큐비트 수를 늘리기 위해 물리적으로 확장 가능
- 임의의 값으로 초기화할 수 있는 큐비트,
- 디코히어런스 시간보다 빠른 양자 게이트,
- 유니버설 게이트 세트,
- 쉽게 읽을 수 있는 큐빗.
양자 컴퓨터의 부품 조달도 매우 어렵습니다. 구글이나 IBM이 만든 것과 같은 많은 양자 컴퓨터에는 핵 연구 부산물인 헬륨-3와 일본 회사인 Coax에서만 만든 특수 초전도 케이블이 필요합니다.
다중 큐비트 시스템을 제어하려면 엄격하고 결정적인 타이밍 분해능으로 많은 수의 전기 신호를 생성하고 조정해야 합니다. 이는 큐비트와의 인터페이스를 가능하게 하는 양자 컨트롤러의 개발로 이어졌습니다. 점점 더 많은 큐비트를 지원하도록 이러한 시스템을 확장하는 것은 추가적인 과제입니다.
양자 결맞음
양자 컴퓨터 구성과 관련된 가장 큰 문제 중 하나는 양자 결맞음(decoherence)을 제어하거나 제거하는 것입니다. 이것은 일반적으로 외부 세계와의 상호 작용으로 인해 시스템이 응집 해제되기 때문에 시스템을 환경에서 격리하는 것을 의미합니다. 그러나 결맞음의 다른 원인도 존재합니다. 예로는 양자 게이트, 격자 진동 및 큐비트를 구현하는 데 사용되는 물리적 시스템의 배경 열핵 스핀이 있습니다. 결맞음은 사실상 비-단일적이기 때문에 되돌릴 수 없으며 일반적으로 피하지 않는다면 고도로 통제되어야 하는 것입니다. 특히 후보 시스템의 결맞음 시간 T2(NMR 및 MRI 기술의 경우 디페이징 시간이라고도 함)는 일반적으로 저온에서 나노초에서 초 범위입니다. 현재 일부 양자 컴퓨터는 상당한 디코히어런스를 방지하기 위해 큐비트를 20밀리켈빈으로 냉각해야 합니다(일반적으로 희석 냉장고 사용). 2020년 연구에 따르면 우주선과 같은 전리 방사선은 그럼에도 불구하고 특정 시스템이 밀리초 내에 결어(decohere)를 제거할 수 있다고 주장합니다.
결과적으로 충분한 시간 동안 큐비트 상태를 유지하면 결국 중첩이 손상되므로 시간이 많이 걸리는 작업으로 인해 일부 양자 알고리즘이 작동하지 않을 수 있습니다.
이러한 문제는 시간 척도가 훨씬 더 짧고 이를 극복하기 위해 자주 인용되는 접근 방식이 광학 펄스 형성이기 때문에 광학 방식의 경우 더 어렵습니다. 오류율은 일반적으로 작동 시간 대 디코히어런스 시간의 비율에 비례하므로 모든 작업은 디코히어런스 시간보다 훨씬 더 빨리 완료되어야 합니다.
양자 임계값 정리에서 설명한 바와 같이 오류율이 충분히 작으면 양자 오류 보정을 사용하여 오류 및 디코히어런스를 억제할 수 있다고 생각됩니다. 이것은 오류 정정 체계가 결맞음이 도입하는 것보다 더 빨리 오류를 수정할 수 있는 경우 총 계산 시간이 결맞음 시간보다 더 길도록 허용합니다. 내결함성 계산을 위해 각 게이트에서 요구되는 오류율에 대해 자주 인용되는 수치는 노이즈가 탈분극이라고 가정할 때 10−3입니다.
이 확장성 조건을 충족하는 것은 광범위한 시스템에서 가능합니다. 그러나 오류 수정을 사용하면 필요한 큐비트 수가 크게 증가하는 비용이 발생합니다. Shor의 알고리즘을 사용하여 정수를 인수분해하는 데 필요한 숫자는 여전히 다항식이며 L과 L2 사이로 생각됩니다. 여기서 L은 인수분해할 숫자의 자릿수입니다. 오류 수정 알고리즘은 L의 추가 요소로 이 수치를 부풀릴 것입니다. 1000비트 숫자의 경우 이는 오류 수정 없이 약 104비트가 필요함을 의미합니다. 오류 수정을 사용하면 수치가 약 107비트로 증가합니다. 계산 시간은 약 L2 또는 약 107단계이며 1MHz에서 약 10초입니다.
안정성 결맞음 문제에 대한 매우 다른 접근 방식은 임의의 유사 입자를 스레드로 사용하고 브레이드 이론에 의존하여 안정적인 논리 게이트를 형성하는 위상 양자 컴퓨터를 만드는 것입니다.
양자 우월
양자 우위는 프로그래밍 가능한 양자 장치가 최첨단 클래식 컴퓨터의 능력을 넘어선 문제를 해결할 수 있음을 입증하는 엔지니어링 위업을 언급하면서 John Preskill이 만든 용어입니다. 문제가 유용할 필요는 없으므로 일부에서는 양자 우위 테스트를 잠재적인 미래 벤치마크로만 보고 있습니다.
2019년 3,000,000월, Google AI Quantum은 NASA의 도움으로 Sycamore 양자 컴퓨터에서 일반적으로 세계에서 가장 빠른 것으로 간주되는 Summit에서 수행할 수 있는 것보다 XNUMX배 이상 빠르게 계산을 수행하여 양자 우위를 달성했다고 최초로 주장했습니다. 컴퓨터. IBM은 Summit이 주장한 것보다 훨씬 빠르게 샘플을 수행할 수 있다고 밝혔고, 이후 연구원들은 양자 우위를 주장하는 데 사용되는 샘플링 문제에 대해 더 나은 알고리즘을 개발하여 Sycamore와 Sycamore 사이의 격차를 크게 줄이거나 좁혔습니다. 고전적인 슈퍼컴퓨터.
2020년 76월, USTC의 그룹은 양자 우위를 입증하기 위해 광자 양자 컴퓨터 Jiuzhang을 사용하여 600개의 광자에 일종의 보손 샘플링을 구현했습니다. 저자들은 고전적인 현대 슈퍼컴퓨터가 양자 프로세서가 20초 안에 생성할 수 있는 샘플 수를 생성하는 데 16억 년의 계산 시간이 필요할 것이라고 주장합니다. 2021년 127월 XNUMX일 양자 컴퓨팅 정상 회담에서 IBM은 IBM Eagle이라는 XNUMX큐비트 마이크로프로세서를 발표했습니다.
물리적 구현
양자 컴퓨터를 물리적으로 구현하기 위해 많은 다른 후보가 추구되고 있으며 그 중 (큐비트를 구현하는 데 사용되는 물리적 시스템으로 구별됨):
- 초전도 양자 컴퓨팅(작은 초전도 회로의 상태로 구현된 큐비트, 조셉슨 접합)
- 갇힌 이온 양자 컴퓨터(갇힌 이온의 내부 상태에 의해 구현되는 큐비트)
- 광학 격자의 중성 원자(광 격자에 갇힌 중성 원자의 내부 상태에 의해 구현된 큐비트)
- 양자점 컴퓨터, 스핀 기반(예: Loss-DiVincenzo 양자 컴퓨터)(갇힌 전자의 스핀 상태에 의해 주어진 큐비트)
- 양자점 컴퓨터, 공간 기반(이중 양자점에서 전자 위치에 의해 주어진 큐비트)
- 원칙적으로 실온에서 작동하는 양자 컴퓨터의 구성을 가능하게 할 수 있는 공학된 양자 우물을 사용한 양자 컴퓨팅
- 결합된 양자 와이어(양자점 접촉에 의해 결합된 한 쌍의 양자 와이어로 구현되는 큐비트)
- 용액 내 분자의 핵 자기 공명으로 구현된 핵 자기 공명 양자 컴퓨터(NMRQC)에서 큐비트는 용해된 분자 내의 핵 스핀에 의해 제공되고 전파로 조사됩니다.
- 고체 상태 NMR 케인 양자 컴퓨터(실리콘에서 인 공여체의 핵 스핀 상태에 의해 구현된 큐비트)
- 전자-온-헬륨 양자 컴퓨터(큐비트는 전자 스핀임)
- CQED(Cavity Quantum Electrodynamics)(고밀도 공동에 결합된 갇힌 원자의 내부 상태에 의해 제공되는 큐비트)
- 분자 자석(스핀 상태로 주어진 큐비트)
- 풀러렌 기반 ESR 양자 컴퓨터(풀러렌에 싸인 원자 또는 분자의 전자 스핀 기반 큐비트)
- 비선형 광양자 컴퓨터(선형 및 비선형 요소를 통해 서로 다른 모드의 빛 상태를 처리하여 구현되는 큐비트)
- 선형 광학 양자 컴퓨터(거울, 빔 스플리터 및 위상 시프터와 같은 선형 요소를 통해 다양한 빛 모드의 상태를 처리하여 구현되는 큐비트)
- 다이아몬드 기반 양자 컴퓨터(다이아몬드에 있는 질소 공석 중심의 전자 또는 핵 스핀에 의해 구현된 큐비트)
- 보스-아인슈타인 응축물 기반 양자 컴퓨터
- 트랜지스터 기반 양자 컴퓨터 – 정전기 트랩을 사용하여 정공을 동반하는 스트링 양자 컴퓨터
- 희토류 금속 이온 도핑 무기 결정 기반 양자 컴퓨터(광섬유 내 도펀트의 내부 전자 상태에 의해 구현되는 큐비트)
- 금속성 탄소나노구 기반 양자컴퓨터
- 많은 후보들이 양자 컴퓨팅이 급속한 발전에도 불구하고 아직 초기 단계에 있음을 보여줍니다.
계산이 분해되는 기본 요소로 구별되는 많은 양자 컴퓨팅 모델이 있습니다. 실제 구현을 위해 XNUMX가지 관련 계산 모델은 다음과 같습니다.
- 양자 게이트 어레이(몇 큐비트 양자 게이트 시퀀스로 분해된 계산)
- 단방향 양자 컴퓨터(고도로 얽힌 초기 상태 또는 클러스터 상태에 적용되는 일련의 XNUMX큐비트 측정으로 분해된 계산)
- 양자 어닐링을 기반으로 하는 단열 양자 컴퓨터(초기 해밀턴에서 최종 해밀턴으로의 느린 연속 변환으로 분해된 계산, 기저 상태에 솔루션이 포함됨)
- 위상 양자 컴퓨터(2D 격자에서 임의의 꼬임으로 분해된 계산)
양자 튜링 기계는 이론적으로 중요하지만 이 모델의 물리적 구현은 실현 가능하지 않습니다. 네 가지 계산 모델은 모두 동등한 것으로 나타났습니다. 각각은 다항식 오버헤드 이상으로 다른 것을 시뮬레이션할 수 있습니다.
인증 커리큘럼에 대해 자세히 알아보기 위해 아래 표를 확장하고 분석할 수 있습니다.
EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals 인증 커리큘럼은 비디오 형식의 오픈 액세스 교육 자료를 참조합니다. 학습 과정은 관련 커리큘럼 부분을 다루는 단계별 구조(프로그램 -> 수업 -> 주제)로 나뉩니다. 도메인 전문가와의 무제한 컨설팅도 제공됩니다.
인증 절차 확인에 대한 자세한 내용은 어떻게 시작하나요?.
주요 강의 노트
U. Vazirani 강의 노트:
https://people.eecs.berkeley.edu/~vazirani/quantum.html
지원 강의 노트
L. Jacak et al. 강의 노트(보충 자료 포함):
https://drive.google.com/open?id=1cl27qPRE8FyB3TvvMGp9mwBFc-Qe-nlG
https://drive.google.com/open?id=1nX_jIheCHSRB7pYAjIdVD0ab6vUtk7tG
주요 보조 교재
양자 계산 및 양자 정보 교과서(Nielsen, Chuang):
http://mmrc.amss.cas.cn/tlb/201702/W020170224608149940643.pdf
추가 강의 노트
J. Preskill 강의 노트:
http://theory.caltech.edu/~preskill/ph219/index.html#lecture
A. 차일즈 강의 노트:
http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w08/co781.html
S. Aaronson 강의 노트:
https://scottaaronson.blog/?p=3943
R. de Wolf 강의 노트:
https://arxiv.org/abs/1907.09415
그 외 추천 교재
고전 및 양자 계산(Kitaev, Shen, Vyalyi)
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/082182161X/qid=1064887386/sr=8-3/ref=sr_8_3/102-1370066-0776166
Democritus(Aaronson) 이후의 양자 컴퓨팅
http://www.amazon.com/Quantum-Computing-since-Democritus-Aaronson/dp/0521199565
양자 정보 이론(와트러스)
https://www.amazon.com/Theory-Quantum-Information-John-Watrous/dp/1107180562/
양자 정보 이론(와일드)
http://www.amazon.com/Quantum-Information-Theory-Mark-Wilde/dp/1107034256
EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals 프로그램을 위한 전체 오프라인 자가 학습 준비 자료를 PDF 파일로 다운로드하세요.