알려진 NP 알고리즘이 없는 PSPACE에 문제가 있습니까?

/ / 에 게시됨 사이버 보안, EITC/IS/CCTF 계산 복잡도 이론 기초, 복잡성, 공간 복잡성 클래스

계산 복잡도 이론 영역에서, 특히 공간 복잡도 클래스를 검토할 때 PSPACE와 NP 간의 관계는 상당한 관심을 끌고 있습니다. 질문을 직접적으로 해결하려면: 그렇습니다. PSPACE에는 알려진 NP 알고리즘이 없는 문제가 있습니다. 이 주장은 이러한 복잡성 클래스 간의 정의와 관계에 뿌리를 두고 있습니다.

PSPACE는 다항식 공간을 사용하여 Turing 기계로 해결할 수 있는 결정 문제 클래스입니다. 즉, 입력 크기가 다항식인 메모리 양을 사용하여 이를 해결할 수 있는 알고리즘이 존재하는 경우 PSPACE에 문제가 있는 것입니다. 이 수업은 매우 복잡하고 복잡한 계산 과정을 포함하는 다양한 문제를 포함합니다.

반면에 NP는 제안된 솔루션이 결정론적 튜링 기계에 의해 다항식 시간 내에 검증될 수 있는 결정 문제 클래스입니다. 이는 누군가가 NP 문제에 대한 후보 솔루션을 제공하는 경우 특히 입력 크기에 상대적인 다항식 시간에 해당 솔루션의 정확성을 신속하게 확인할 수 있음을 의미합니다.

이 두 클래스 사이의 관계는 NP가 PSPACE의 하위 집합이 되는 것과 같습니다. 다항식 시간에서 확인할 수 있는 문제는 다항식 공간에서도 풀 수 있기 때문입니다. 이유를 이해하려면 다항식 시간 검증기가 입력 및 제안된 솔루션의 다항식 비트 수만 읽을 수 있다는 점을 고려하십시오. 따라서 읽은 위치와 수행한 작업을 추적하는 다항식 공간 기계로 시뮬레이션할 수 있습니다.

그러나 그 반대는 사실이 아닌 것으로 알려져 있습니다. 즉, PSPACE가 NP의 하위 집합인지 여부는 알 수 없습니다. 사실 공식적으로 입증되지는 않았지만 PSPACE에는 NP에 없는 문제가 포함되어 있다고 널리 알려져 있습니다. 이러한 믿음은 다항식 공간으로 해결될 수 있음에도 불구하고 해결하는 데 다항식 시간 이상이 필요한 것처럼 보이는 문제가 PSPACE에 존재한다는 데 기반을 두고 있습니다.

NP에 있는 것으로 알려지지 않은 PSPACE 문제의 정식 예 중 하나는 QBF(Quantified Boolean Formula) 문제입니다. QBF는 NP-완전인 부울 만족도 문제(SAT)를 일반화한 것입니다. SAT는 주어진 부울 공식을 참으로 만드는 변수에 진리값 할당이 있는지 여부를 묻는 반면, QBF는 "모든 x에 대해 공식이 참이 되는 y가 존재합니다."와 같이 변수에 대한 중첩 수량자를 포함합니다. 이러한 수량자가 있으면 QBF가 훨씬 더 복잡해집니다. QBF는 PSPACE가 완벽합니다. 즉, PSPACE의 모든 문제만큼 어렵습니다. QBF에 대한 NP 알고리즘이 있다면 NP가 PSPACE와 동일하다는 것을 의미하며, 이는 획기적이며 널리 가능성이 낮은 결과입니다.

또 다른 예시적인 예는 N x N 보드에서 플레이되는 체스나 바둑의 일반화된 버전과 같은 일반화된 게임에서 승자를 결정하는 문제입니다. 이러한 문제에는 잠재적으로 기하급수적인 이동 및 구성 수가 포함되지만 가능한 모든 게임 상태를 체계적으로 탐색하여 다항식 공간을 사용하여 결정할 수 있습니다. 이러한 문제는 또한 PSPACE-완전하며, NP가 아닌 PSPACE에 문제가 있음을 더 암시합니다.

PSPACE의 특정 문제가 NP 외부에 있다고 생각되는 이유를 더 자세히 알아보려면 공간 제한 계산과 시간 제한 계산의 특성을 고려하세요. 다항식 공간은 사용된 공간이 다항식으로 제한되는 한 잠재적으로 기하급수적인 계산 단계 수를 허용합니다. 이는 시간이 다항식으로 제한되는 NP와는 완전히 대조적입니다. 다항식 공간이 허용하는 지수 시간은 QBF 및 일반화된 게임에서 발생하는 문제와 같이 기하급수적으로 큰 공간에 대한 철저한 검색을 포함하는 문제를 해결하는 데 활용될 수 있습니다.

더욱이 PSPACE와 NP의 구별을 더욱 뒷받침하는 복잡한 이론적 구성이 있습니다. 예를 들어 Chandra, Kozen 및 Stockmeyer가 도입한 교대 개념은 비결정론을 일반화하고 클래스 AP(교대 다항식 시간)로 이어집니다. AP는 PSPACE와 동일하므로 다항식 공간 계산의 성능에 대한 다른 관점을 제공하는 것으로 나타났습니다. 교대는 QBF의 구조를 반영하는 일련의 실존적 및 보편적 수량자를 포함하며 PSPACE 문제에 내재된 복잡성을 보여줍니다.

복잡성 클래스의 분리는 이론적인 컴퓨터 과학에서 근본적인 미해결 문제라는 점도 주목할 가치가 있습니다. 유명한 P 대 NP 문제는 이 광범위한 탐구의 특별한 경우입니다. 마찬가지로, NP가 PSPACE와 같은지 여부에 대한 질문은 아직 해결되지 않은 상태로 남아 있습니다. 그러나 광범위한 연구와 알려진 문제의 특성을 기반으로 하는 현장의 합의는 PSPACE에 NP가 아닌 문제가 포함될 가능성이 있다는 것입니다.

알려진 NP 알고리즘이 없는 PSPACE의 문제 존재는 이러한 복잡성 클래스 간의 정의와 관계뿐만 아니라 QBF 및 일반화된 게임 문제와 같은 구체적인 예를 통해 뒷받침됩니다. 이러한 예는 다항식 공간 내에서 관리할 수 있지만 다항식 시간에 국한되지 않아 NP 영역 외부에 배치할 수 있는 복잡하고 잠재적으로 기하급수적인 계산 프로세스를 강조합니다.

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