선형 회귀 분석에서 b 매개변수(가장 적합한 선의 y절편)는 어떻게 계산되나요?

/ / 에 게시됨 인공지능 , Python을 사용한 EITC/AI/MLP 머신 러닝, 리그레션, 회귀 이해

선형 회귀의 맥락에서 매개변수는 b (일반적으로 최적선의 y 절편이라고 함)은 선형 방정식의 중요한 구성 요소입니다. y = m x + b어디로 m 선의 기울기를 나타냅니다. 귀하의 질문은 y절편 사이의 관계와 관련이 있습니다. b, 종속변수의 평균 y 그리고 독립변수 x, 그리고 기울기 m.

쿼리를 해결하려면 선형 회귀 방정식의 유도를 고려해야 합니다. 선형 회귀는 종속 변수 간의 관계를 모델링하는 것을 목표로 합니다. y 그리고 하나 이상의 독립 변수 x 관측된 데이터에 선형 방정식을 적용하여 단일 예측 변수를 포함하는 단순 선형 회귀에서 관계는 다음 방정식으로 모델링됩니다.

    \[ y = mx + b \]

여기 m (기울기) 그리고 b (y 절편)은 결정해야 하는 매개변수입니다. 경사 m 의 변화를 나타냅니다. y 한 단위 변경의 경우 x, y절편은 b 의 가치를 나타냅니다. y 언제 x XNUMX입니다.

이러한 매개변수를 찾기 위해 일반적으로 관찰된 값과 모델에서 예측한 값 사이의 제곱 차이의 합을 최소화하는 최소 제곱 방법을 사용합니다. 이 방법을 사용하면 기울기에 대해 다음 공식이 생성됩니다. m 그리고 y절편 b:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

여기 \bar{x} and \bar{y} 의 수단이다 x and y 가치를 각각 나타냅니다. 용어 \sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} 공분산을 나타냅니다. x and y반면 \sum{(x_i - \bar{x})^2} 의 분산을 나타냅니다. x.

y절편의 공식 b 다음과 같이 이해될 수 있습니다: 일단 기울기가 m 결정되면 y절편이 b 의 평균을 취하여 계산됩니다. y 값을 구하고 기울기의 곱을 뺍니다. m 그리고 평균은 x 가치. 이렇게 하면 회귀선이 해당 점을 통과하게 됩니다. (\bar{x}, \bar{y}), 이는 데이터 포인트의 중심입니다.

이를 예시로 설명하기 위해 다음 값이 포함된 데이터세트를 생각해 보세요.

    \[ \begin{배열}{|c|c|} \hline x & y \\ \hline 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ 4 & 4 \\ 5 & 6 \\ \hline \end{배열} \]

먼저, 우리는 x and y:

    \[ \bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3 \]

    \[ \bar{y} = \frac{2 + 3 + 5 + 4 + 6}{5} = 4 \]

다음으로 기울기를 계산해보겠습니다. m:

    \[ m = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sum{(x_i - \bar{x})^2}} \]

    \[ = \frac{(1-3)(2-4) + (2-3)(3-4) + (3-3)(5-4) + (4-3)(4-4) + (5-3)(6-4)}{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^ 2} \]

    \[ = \frac{(-2)(-2) + (-1)(-1) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(2)}{(-2) ^2 + (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 + (2)^2} \]

    \[ = \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 4}{4 + 1 + 0 + 1 + 4} \]

    \[ = \frac{9}{10} = 0.9 \]

마지막으로 y절편을 계산합니다. b:

    \[ b = \bar{y} - m\bar{x} \]

    \[ = 4 - 0.9 \times 3 \]

    \[ = 4 - 2.7 \]

    \[ = 1.3 \]

따라서 이 데이터 세트의 선형 회귀 방정식은 다음과 같습니다.

    \[ y = 0.9x + 1.3 \]

이 예는 y절편이 b 실제로 모든 평균과 동일합니다. y 값에서 기울기의 곱을 뺀 값 m 그리고 모든 것의 평균 x 수식과 일치하는 값 b = \bar{y} - m\bar{x}.

y절편이 있다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. b 단순히 모든 것의 평균이 아니다 y 값과 기울기의 곱 m 그리고 모든 것의 평균 x 가치. 대신, 기울기의 곱을 빼는 것이 포함됩니다. m 그리고 모든 것의 평균 x 모든 것의 평균에서 나온 값 y values.

선형 회귀 분석 결과를 해석하려면 이러한 매개변수의 파생과 의미를 이해하는 것이 필수적입니다. y절편 b 종속변수의 기준 수준에 대한 귀중한 정보를 제공합니다. y 독립변수가 있을 때 x 0입니다. 경사 m, 반면에 는 둘 사이의 관계의 방향과 강도를 나타냅니다. x and y.

실제 응용 분야에서 선형 회귀는 예측 모델링 및 데이터 분석에 널리 사용됩니다. 경제학, 금융, 생물학, 사회과학 등 다양한 분야의 기초기술로 활용됩니다. 연구자와 분석가는 관찰된 데이터에 선형 모델을 적용함으로써 예측을 하고, 추세를 식별하고, 변수 간의 관계를 밝힐 수 있습니다.

데이터 과학 및 기계 학습에 널리 사용되는 프로그래밍 언어인 Python은 선형 회귀를 수행하기 위한 여러 라이브러리와 도구를 제공합니다. 예를 들어 `scikit-learn` 라이브러리는 `LinearRegression` 클래스를 통해 선형 회귀의 간단한 구현을 제공합니다. 다음은 Python에서 `scikit-learn`을 사용하여 선형 회귀를 수행하는 방법의 예입니다.

python
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# Sample data
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape((-1, 1))
y = np.array([2, 3, 5, 4, 6])

# Create and fit the model
model = LinearRegression()
model.fit(x, y)

# Get the slope (m) and y-intercept (b)
m = model.coef_[0]
b = model.intercept_

print(f"Slope (m): {m}")
print(f"Y-intercept (b): {b}")

이 예에서는 'LinearRegression' 클래스를 사용하여 선형 회귀 모델을 생성합니다. 샘플 데이터에 대한 모델을 훈련하기 위해 'fit' 메소드가 호출되고, 'coef_' 및 'intercept_' 속성은 각각 기울기와 y 절편을 검색하는 데 사용됩니다.

y절편 b 선형 회귀에서는 모든 평균과 같지 않습니다. y 값과 기울기의 곱 m 그리고 모든 것의 평균 x 가치. 대신에, 그것은 모든 것의 평균과 같습니다. y 값에서 기울기의 곱을 뺀 값 m 그리고 모든 것의 평균 x 공식에 의해 주어진 값 b = \bar{y} - m\bar{x}.

기타 최근 질문 및 답변 Python을 사용한 EITC/AI/MLP 머신 러닝:

Python을 사용한 EITC/AI/MLP 기계 학습에서 더 많은 질문과 답변 보기

더 많은 질문과 답변:

아래의 태그 : , , , , ,